domingo, 16 de octubre de 2011

Mapas de karnaugh


Mapa de Karnaugh


Ejemplo de mapa de Karnaugh.
Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh 
diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un
 diagramautilizado para la simplificación de funciones algebraicas
 Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por
 un físico y matemático de los laboratorios Bell.
Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos 
para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad 
del cerebro humano  para el reconocimiento de patrones y otras formas de
expresión analítica, permitiendo  así identificar y eliminar condiciones
redundantes. El mapa de Karnaugh consiste en una representación 
bidimensional de la tabla de verdad  de la función a simplificar. Puesto que
la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K 
correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables  de la
expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray,
de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La
transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh
se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor 
que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar 
para funciones de hasta 6 variables.

Ejemplo

Dada la siguiente función algebraica Booleana representada como el sumatorio de sus minitérminos, y con las variables Booleanas ABCD, la función se puede representar
 con dos notaciones distintas:

  • f(A,B,C,D) = (6,8,9,10,11,12,13,14)






Tabla de verdad
Utilizando los minitérminos definidos, se elabora la tabla de verdad:
#ABCDf(A,B,C,D)
000000
100010
200100
300110
401000
501010
601101
701110
810001
910011
1010101
1110111
1211001
1311011
1411101
1511110


Mapa de Karnaugh


Construcción del mapa-K.
Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadricula de 4 × 4.
La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0. De igual manera, la esquina inferior derecha es 1 porque el resultado de la función es ƒ = 1 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.
Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar conjuntos de términos de manera que se obtenga el menor número de términos posible. Estos términos se seleccionan formando grupos de rectángulos cuyas areas sean potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) tratando de agrupar el mayor número de términos posible.
Que términos seleccionar van dependiendo de como se quiera realizar la simplificación, puesto que esta puede realizarse porminitérminos o por maxitérminos.


Otro ejemplo

X1 X3 __________ 54645454 __________ 0 4 5 1 X4| 8 12 13 9 X2| | 10 14 15 11
 |                 2       6       7       3
Números correspondientes a las posiciones de la tabla de la verdad

Ejemplo mapa de Karnaugh:
                                        X1      
                                X3      _________       
                                _________               
                        0       1       1       1
        X4|             0       0       1       1
X2|       |             0       0       1       0
  |                     1       1       0       0
Tabla de lazos que se pueden permitir, según las variables que contenga un mapa: MAPAS según su variable

v      1        2       4       8       16      32      64
2       2       1       C       NA      NA      NA      NA
3       3       2       1       C       NA      NA      NA
4       4       3       2       1       C       NA      NA
5       5       4       3       2       1       C       NA
6       6       5       4       3       2       1       C

v= variables
C= constantes
NA= no permitido

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